Vastaako matematiikka todellisuutta?

Viralliset totuudet ovat betoniin hakattuja, ja kaiken takuuna on matematiikka. — Mutta voiko maailmankuva olla täysin johdonmukainen, vai ovatko "mielen takut" siellä aina mukana? Siis vastaako matematiikka mentaalisen maailman todellisuutta? — Yritetään formuloida asiaa esimerkein, "tarinoiden matematisoinnin" avulla.

 

Tasasivuisen (siis kaikki sivut yhtä pitkät) kolmion ympäri (siis kärkiä koskettaen) on piirretty ympyrä.
— Mikä on todennäköisyys sille että satunnaisesti, tasajakautuneesti ympyrään piirretty jänne (siis reunasta reunaan piirretty jana) on pidempi kuin kolmion sivu?

Tämä on klassinen todennäköisyyslaskennan ongelma (ns. Bertrandin paradoksi), eikä sillä ole yksikäsitteisesti oikeaa vastausta. Todennäköisyys riippuu täysin satunnaismuuttujan valinnasta (siis vaihteleeko tasajakautuneesti vaikka jänteen ja ympyrän reunan välinen kulma, jänteen maksimietäisyys ympyrän kehästä, vai jänteen keskipiste ympyrän sisällä). — Todennäköisyys ei siis tosimaailmassa ole useinkaan yksikäsitteinen; tällaisesta on julkaistu papereita aivan viime vuosinakin. Toimikoon tämä yksinkertainen "määrällinen" esimerkki kuin johdantona aikatasossa tapahtuville isommille, laadullisille, tarinoiden mallituksessa ilmeneville ongelmille. 

 

Sinut ja toverisi on vangittu ja eristetty toisistanne. Teille on luvattu, että jos molemmat kiistävät, molemmat saavat lyhyen tuomion; mutta jos kavallat sen toisen, sinut vapautetaan (ellei sinuakin kavalleta), ja "syyllisiksi todistetut" jakavat keskenään pitkän tuomion. — Kuinka toimia?

Tähän peliteoria antaa yksikäsitteisen "oikean" vastauksen: sinun kannattaa aina pettää toverisi. Tämä on ns. "tieteellinen monikulttuuriratkaisu": kun joku kuitenkin pettää, sinun kannattaa tehdä se myös. Muuten olet hölmö ja luuseri.

Mutta tämä ei ole paras ratkaisu, tuskin edes hyvä. Mitä pidemmälle kulttuuri on kehittynyt, ja mitä enemmän kyetään näkemään nykyhetken yli, sitä enemmän ymmärretään luottamuksen merkitys: kaikkihan voivat kiistämällä saada lyhyen tuomion. Kun stubbimainen "menneisyyden unohtaminen" johtaa hetken maailmaan jossa hymyt ovat jäykistyneet sardoniseen irvistykseen, kestävän kehityksen sinisilmä-impivaaralainen rakentaa jonkinlaisen yhteisyyden kenttämallin.

Tätä "vangin paradoksia" on sittemmin laajennettu jatkuva-aikaiseen muotoon, paremmin ihmisten käyttäytymistä vastaavaksi, jonkinlaiseksi peliksi, jolloin valinta toistetaan yhä uudelleen, ja voit jatkokierroksilla tarpeen tullen kostaa (ns. Iterated Prisoner's Dilemma). Mielenkiintoista on se että laadullinen muutos optimikäyttäytymisessä tapahtuu luottamusta korostavaksi vain, jos kierrosten määrä kuvitellaan äärettömäksi. Jos kierrosten määrä nimittäin olisi tiedossa, kannattaisi viimeisellä kierroksella pettää; mutta tämän tietämisestä seuraa, että jo viimeistä edellisellä kierroksella kannattaa pettää, ja niin edelleen — näin koko luottamuksen rakennelma romahtaa

Alkaa siis näyttää siltä, että aikaulottuvuus on mielen mallissa välttämätön, ja äärettömyyden simuloimiseksi tarvitaan "iteraatiopyörteitä" — mutta sopivalla "harjaamisella" mielen aikapyörteet olisi tässä vielä varmaankin järjellä oikaistavissa, niin ettei mieli aina päätyisi päättymättömään simulaatioon? — Mennään kuitenkin eteenpäin, katsotaan kerralla syöveriin …

 

Joukolle ihmisiä on laitettu hatut päähän, joko musta tai punainen, ja heitä pyydetään nostamaan käsi, jos he näkevät yhdenkään punaisen hatun. Avatessasi silmäsi näet pelkkiä punaisia hattuja, ja kaikilla on käsi pystyssä. — Mitä voit päätellä oman hattusi väristä?

No, ongelmaa voi lähestyä induktiolla. Jos mukana on vain kaksi henkilöä, sinä ja joku toinen, ja se toinen nostaa kätensä, silloin tietenkin tiedät että hattusi on oltava punainen. — Edelleen jos mukana onkin kolme henkilöä, voidaan ensin tarkastella sitä vaihtoehtoa, että itselläsi olisi musta hattu: silloin sinä itse et lainkaan vaikuttaisi näiden kahden muun päättelyyn. Heidän osaltaan päättely palautuisi siis kahden henkilön tilanteeseen; jos kumpikaan näistä ei siltikään pysty päättelemään hattunsa väriä, tiedät että oman hattusi on oltava punainen! — Näin ihmisten joukkoa voidaan kasvattaa induktioaskel kerrallaan (taas, jos neljästä hengestä ainoastaan sinulla olisi musta hattu, sinä putoaisit päättelyistä pois, ja näiden muiden osalta ongelma palautuisi kolmen henkilön ongelmaksi, jolloin näistä fiksuin olisi keksinyt ratkaisun, jne.), vaikka kuinka suureksi.

Mutta onko tässä enää mitään mieltä, voiko ihminen oikeasti ajatella näin metamaattisesti? Kun edellisessä tapauksessa pyörre oli muuttumaton, tällaisen induktiivisen päättelyn tapauksessa malli on aikavariantti, eikä mikään abstrahoiva "harjaus" liene mahdollista? Yksinkertaistaminen ei siis liene mahdollista, ja mieleen alkaa kasaantua läpitunkematon viidakko? Mutta matematiikka pelastaa?

Ehkä voidaan määritellä intuitiivinen ongelmien hierarkia: yksinkertaisimmat ongelmat (niin kuin "vangin paradoksi") ovat linearisoituvia, eli niiden silmukkarakenne voidaan eliminoida. Tällöin ajatelu voi automatisoitua, niin kuin kyseenalaistamattomaksi luottamukseksi yllä. Seuraavalla tasolla (kuten tämä hattuongelma) silmukkarakenne on redusoitumaton, eli niiden ratkaiseminen vaatii joka kerta aktiivista ajattelua. — Mutta sitten on olemassa vielä yksi taso (seuraava esimerkki), jossa kaikki rakenteistaminen epäonnistuu. Taitaa olla niin, että mieli antaa kaiken armeliaasti kadota sumuun, jolloin järkiajattelun konkurssia ei tarvitse kohdata … 

 

Opettaja on sanonut, että seuraavalla viikolla jonakin päivänä (maanantaista perjantaihin) on pistokoe, mutta niin, että vielä kyseisenä koeaamuna ei asiaa voi tietää— Mitä koepäivästä kuitenkin (?) näillä ehdoilla voi päätellä?

Ilmeisesti koe ei voi olla enää perjantaina: tämähän olisi viimeinen mahdollinen päivä, jolloin jo perjantaiaamuna asia olisi varma — ja tämä olisi vastoin oletusta. Niinpä torstai olisi viimeinen mahdollinen koepäivä — mutta taas tämä tiedettäisiin jo torstaiaamuna, joten torstainen koekin olisi vastoin oletusta. Näin voidaan jatkaa maanantaihin saakka, joten koe ei voi olla yhtenäkään päivänä! — Mutta sittenpä koe kuitenkin on keskiviikkona — täydellisenä yllätyksenä, aivan oletuksen mukaan.

Matematiikka ei vastaa todellisuutta! — Tällä kertaa ongelman syynä lienee yritys liian pitkälle menevään ajan rakenteistamiseen. Aivan kuin aikakoordinaatti ei olisikaan samanlainen kuin avaruuskoordinaatit, ja ajassa taaksepäin päättely ei olisikaan yhtä luvallista kuin "peruuttaminen" muissa suunnissa? Ajassa tapahtuvat silmukat ja muut rakenteet ovat kai aina alttiita ristiriitaisuuksille? Ajattelun takkuuntumista ei voi estää, ei millään formuloinneilla. — Tämä on ristiriita johon en tiedä minkäänlaista ratkaisua

 

Paradoksit ovat avain uusiin oivalluksiin: niin kuin nyt vaikka se valehtelijaparadoksi, joka johti Kurt Gödelin mullistaviin päätelmiinsä matemaattisen todellisuuden epätäydellisyydestä. Mutta ehkä tästä  yllä olevasta paradoksista ei voida kuitenkaan vetää liian pitkälle meneviä johtopäätöksiä objektiivisesta todellisuudesta — mutta ehkä jotakin voidaan kuitenkin sanoa subjektiivisesta todellisuudesta.

Matematiikan filosofiakin oli vuosisata sitten jollakin tapaa vitalistista, ja pyrki jäljittelemään mielen toimintaa. Jos halutaan pitää kiinni siitä, että maailma on aina ensisijainen, olkoon vaikka vain subjektiivinen maailma, ja matemaattinen malli on vain työkalu, joudutaan monia käytäntöjä muuttamaan. L.E.J. Brouwerin kehittämä intuitionismi lähti ajatuksesta, että kaiken kaikkiaan matematiikka on pelkkää mielen konstruktiota. Matemaatikoiden välistä kommunikaatiota tarvitaan luomaan samat mentaaliprosessit eri mielissä, niin että kaikki tavoittelevat "samoja valoja pimeyden reunalla". — Intuitionistinen matematiikka ottaa kantaa esimerkiksi siihen "kolmannen kielletyn" logiikkaan ja yllä käsiteltyyn induktion ongelmaan; jotenkin vaikutelmaksi silti jää, että nappulat ovat yhä pahasti sekaisin … Brouwerkin lopulta menetti järkensä.
 

heikkihyotyniemi

Heikki, versio 2: Suvaitsevampi, viisaampi ... ainakin vähän vanhempi ja paljon reikäpäisempi. Niin on vaatteet kuin aatteetkin: sinisiä, ja löysiä.

Ilmoita asiaton viesti

Kiitos!

Ilmoitus asiattomasta sisällöstä on vastaanotettu