Georg Cantor, erikokoiset äärettömyydet ja tieteen hybris (1)

Tänä vuonna on kulunut 150 vuotta siitä, kun Georg Cantor (1845–1918) osoitti, että äärettömyyksiä on monen kokoisia, ja ajattelin, että voisihan tuotakin tieteenhistorian merkkitapausta muistaa blogilla. Otsikko on sikäli harhaanjohtava, että tässä tekstissä en puhu mitään tieteen hybriksestä, mutta aikomukseni on palata asiaan myöhemmissä blogeissa. Tässä esitän vain pienen johdatuksen äärettömyyksien vertailuun. Aihetta tuntevalle ei ole luvassa mitään uutta.

Georg Cantor, jota voi kutsua joukko-opin isäksi, on matematiikan historian käänteentekevimpiä hahmoja. Hänen työnsä koki aluksi paljon vastustusta, mutta se johti kehitykseen, jonka tuloksena joukko-oppi 1900-luvun alussa vakiintui laajasti hyväksytyksi matematiikan perustaksi. Erityisen merkittävä oli Cantorin oivallus siitä, että kaikki äärettömyydet eivät ole saman ”kokoisia”. Jo luonnollisia lukuja (0,1,2,…) on ääretön määrä, mutta tuo äärettömyys on vasta ensimmäinen äärettömyys, voisi sanoa kääpiö äärettömyydeksi.

Äärettömyyksien ”kokojen”, matemaattisessa terminologiassa mahtavuuksien, vertailu tapahtuu suunnilleen samalla tavalla, kuin yleensäkin lukumäärien vertailu. Jos meillä on kahdessa kasassa silakkafileitä, saamme selville onko niitä saman verran, kun muodostamme pihvejä ottamalla aina fileen kummastakin kasasta, ja katsomme ehtyvätkö kasat samaan aikaan. Tällöin fileiden välille on muodostettu yksi-yhteen-vastaavuus (bijektio).

Vastaavasti joidenkin äärettömyyksien välille voidaan muodostaa yksi-yhteen-vastaavuus, jolloin niillä sanotaan olevan sama mahtavuus. Tottumattomalle tällaisen vertailun tulokset saattavat tuntua paradoksaalisilta. Esimerkiksi parillisia (luonnollisia) lukuja on kaksi kertaa harvemmassa kuin luonnollisia lukuja kaikkiaan, mutta joukot ovat silti Cantorin määrittelemässä mielessä samankokoisia, sillä ne on helppo asettaa yksi-yhteen-vastaavuuteen:

0 – 0
1 – 2
2 – 4
3 – 6
jne.

Joukkoa jonka mahtavuus on sama kuin luonnollisten lukujen sanotaan numeroituvaksi. Jos joukon alkiot voidaan järjestää äärettömän pitkäksi jonoksi, se on numeroituva.

Joukko voi intuitiivisesti vaikuttaa myös paljon laajemmalta kuin luonnollisten lukujen joukko mutta olla silti numeroituva. Jos kokonaislukuihin lisätään murtoluvut, saadaan rationaalilukujen joukko. Rationaalilukuja on äärettömän tiheässä, mutta nekin voidaan järjestää jonoon. Tämän osoittamainen on hiukan monimutkaisempaa, mutta käy esimerkiksi niin, että ensin tulevat luvut, joissa osoittajan ja nimittäjän summa on 1, sitten ne, joiden summa on 2 jne. Seuraavassa on alkua jonolle, jossa rationaaliluvut on ryhmitelty tähän tapaan. Koska rationaaliluvut voidaan laventamalla esittää useilla tavoilla, ne tulevat tähän moneen kertaan, mutta olen merkinnyt aiemmin esiintyneet luvut sulkuihin:

0/1 = 0

(0/2 = 0)
1/1 = 1

(0/3 = 0)
1/2
2/1 = 2

(0/4 = 0)
1/3
(2/2 = 1)
3/1 = 3

(0/5 = 0)
1/4
2/3
3/2
4/1 = 4

(0/6 = 0)
1/5
(2/4 = 1/3)
(3/3 = 1)
(4/2 = 2)
5/1 = 5

(0/7 = 0)
1/6
2/5
3/4
4/3
5/2
6/1 = 6

jne.

Jos sulkuihin merkityt rivit jätetään pois, saadaan kaikki positiiviset rationaaliluvut sisältävä jono (0, 1, 1/2, 2, 1/3, 3, 1/4, 2/3, 3/2, 4, 1/5, 5, 1/6, 2/5, 3/4, 4/3, 5/2, 6, …). Lisäämällä kunkin luvun perään oma vastalukunsa on helppo muodostaa myös negatiiviset rationaaliluvut sisältävä jono.

Vaikka rationaalilukuja on äärettömän tiheässä, on lukusuoralla silti muitakin lukuja, vieläpä olennaisella tavalla enemmän kuin rationaalilukuja. Jos tämä tuntuu jälleen paradoksaaliselta, asia tulee ymmärrettävämmäksi, kun ajattelemme lukuja desimaalikehitelminä. Rationaaliluvut voidaan esittää joko päättyvinä desimaalilukuina (esim. 1/5 = 0,2) tai sellaisina päättymättöminä, joissa on toistuva jakso (esim. 1/3 = 0,333…, 1/7 = 0,142857142857…) Irrationaaliluvut taas ovat päättymättömiä desimaalilukuja ilman toistuvaa jaksoa; tunnettu esimerkki on ympyrän kehän ja halkaisija suhde pii.

Yhdessä rationaali- ja irrationaaliluvut muodostavat reaalilukujen joukon, jota kutsutaan myös kontinuumiksi, koska se käsittää jatkumona ”kaikki” lukusuoran luvut. Jos ajattelemme reaalilukuja ”umpimähkäisten” desimaalien päättymättöminä jonoina, tuntuu järkeenkäyvältä, että niitä on ”enemmän” kuin jaksollisia jonoja. Tällä kertaa intuitio onkin oikeassa: Cantor todisti, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva eli mahtavampi kuin rationaali- tai luonnollisten lukujen joukko. Vieläpä rajatulla välillä, esim. 0:sta 1:een, on ylinumeroituva määrä reaalilukuja. Cantor todisti tämän ensimmäistä kertaa vuonna 1874 mutta esitti myöhemmin yksinkertaisemman todistuksen, joka tunnetaan diagonaaliargumentin nimellä ja on seuraavan kaltainen:

Tehdään vastaoletus, jonka mukaan reaalilukuja em. välillä on numeroituva määrä, eli ne voidaan järjestää jonoksi. Oletetaan, että jono alkaa näin (a1, a2 jne. ovat desimaaleja):

0, a1 a2 a3 a4…
0, b1 b2 b3 b4…
0, c1 c2 c3 c4…
0, d1 d2 d3 d4…
jne.

Muodostetaan uusi luku ottamalla ”diagonaalisesti” ensimmäisestä luvusta ensimmäinen desimaali, toisesta toinen jne., siis 0, a1 b2 c3 d4… Tämän jälkeen muodostetaan tästä taas uusi reaaliluku vaihtamalla jokainen sen desimaali joksikin muuksi, esim. lisäämällä kuhunkin 1, tai 9:n tapauksessa muuttamalla 0:ksi. Tämä uusi luku poikkeaa kaikista jonon luvuista, sillä ensimmäinen desimaali on erilainen kuin ensimmäisessä luvussa, toinen desimaali erilainen kuin toisessa jne. Vastaoletuksen mukaan jonossa piti kuitenkin olla kaikki 0:n ja 1:n väliset reaaliluvut, joten vastaoletus johtaa ristiriitaan eikä voi pitää paikkaansa. Siis reaalilukujen joukko on ylinumeroituva, m.o.t.

Kun näin on otettu ensimmäinen askel äärettömyyksien kokoluokittelussa toteamalla, että reaalilukujen joukon (eli kontinuumin) mahtavuus on suurempi kuin luonnollisten lukujen, luonteva jatkokysymys on: kuinka paljon suurempi? Onko äärettömyyksissä välikokoja luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välillä? Samaa kysyi myös Cantor, mutta vastauksen antaminen osoittautui yllättävän vaikeaksi. Palaan asiaan, sikäli kun saan aikaan jatko-osan tähän tekstiin.

ollivaisala
Espoo

Ihminen. Suomalainen. Perheenisä. Muusikko. Teisti–panteisti.

Ilmoita asiaton viesti

Kiitos!

Ilmoitus asiattomasta sisällöstä on vastaanotettu