Georg Cantor, erikokoiset äärettömyydet ja tieteen hybris (2): kontinuumihypoteesin vaiheita

Tämä on jatkoa kirjoitukselleni, joka sisälsi yleistajuisen johdannon erikokoisiin äärettömyyksiin, ajatukseen jonka keksi Georg Cantor 150 vuotta sitten ja jolla oli matematiikan historiassa käänteentekevä merkitys. Lyhyesti sanottuna joukot – myös äärettömät joukot – ovat samankokoiset eli yhtä mahtavat, jos niiden alkiot voidaan asettaa toistensa kanssa yksi-yhteen-vastaavuuteen (bijektioon).

Kuten edellisessä blogissa selitin, luonnollisia lukuja (0,1,2,…) on tässä mielessä ”yhtä paljon” kuin parillisia lukuja (0,2,4,…) tai rationaalilukuja (murtolukuja), vaikka edellisiä on paljon harvemmassa ja jälkimmäisiä paljon tiheämmässä. Cantor osoitti kuitenkin, että reaalilukujen joukko, joka käsittää kontinuumina eli jatkumona kaikki lukusuoran luvut, on aidosti suurempi (mahtavampi), kuin luonnollisten lukujen. Luonnollisten lukujen joukkoa sanotaan numeroituvaksi; reaalilukujen joukko on ylinumeroituva.

Cantor osoitti myös yleisesti – tulos tunnetaan nykyään ”Cantorin lauseena” – että jokaisen joukon osajoukkojen joukko eli potenssijoukko on suurempi (mahtavampi) kuin joukko itse. Äärellisen n-alkioisen joukon potenssijoukossa on 2^n (2 potenssiin n) alkiota; esimerkiksi 3-alkioisen joukon {0,1,2} potenssijoukko käsittää seuraavat 8 alkiota: {}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}. Äärettömille joukoille voidaan Cantorin lauseen perusteella muodostaa äärettömiin jatkuva kasvavien kokoluokkien sarja ottamalla lähtökohdaksi luonnolliset luvut ja muodostamalla tälle potenssijoukko, potenssijoukon potenssijoukko jne.

Cantor todisti myös, että luonnollisten lukujen potenssijoukolla on sama mahtavuus kuin reaaliluvuilla (kontinuumilla). Tämä tulos on helpohkosti ymmärrettävissä, jos ajattelemme muodostavamme luonnollisten lukujen osajoukot käymällä läpi luvut 0:sta äärettömyyksiin ja tekevämme kunkin kohdalla valinnan, kuuluuko luku muodostettavaan osajoukkoon tai ei. Jos merkitsemme 1 = kyllä ja 0 = ei, vastaa esimerkiksi joukkoa {1,2,3} lukusarja 0111000000…, parillisten lukujen joukkoa lukusarja 10101010… jne. Siten jokaista luonnollisten lukujen osajoukkoa vastaa äärettömän pitkä nollien ja ykkösten jono, mistä jo häämöttää periaate, jonka perusteella ne voidaan asettaa yksi-yhteen-vastaavuuteen reaalilukujen kanssa. Yleensähän meillä kymmensormisilla on tapana esittää reaaliluvut 10-järjestelmässä päättymättöminä desimaalilukuina, mutta yhtä hyvin ne voitaisiin esittää 2-järjestelmässä tuonkaltaisina nollien ja ykkösten jonoina.

Cantor päätyi siis samaan ylinumeroituvaan äärettömyyksien kokoluokkaan tarkastelemalla joko reaalilukujen kontinuumia tai luonnollisten lukujen osajoukkojen joukkoa. Tästä seurasi luonteva kysymys, jonka jo esitin edellisen blogin lopussa: onko kyseessä pienin ylinumeroituva äärettömyys vai onko olemassa joukkoja, joiden mahtavuus on luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välissä? Olettamus, että välikokoja ei ole, tunnetaan kontinuumihypoteesin nimellä. Matematiikan historiassa kysymys kontinuumihypoteesista osoittautui yllättävän hankalaksi.

Tässä yhteydessä on syytä mainita Cantorin käyttöön ottama tapa merkitä äärettömyyksien kokoluokkia heprean alef-kirjaimella alaindekseineen. Numeroituva äärettömyys (luonnollisten lukujen mahtavuus) on alef-0, toiseksi pienin äärettömyys alef-1 jne. (lukijaa ei yllättäne, että myös indeksit saattavat kasvaa erikokoisiin äärettömyyksiin). Kontinuumihypoteesi väittää siis, että reaalilukujen mahtavuus on yhtä kuin kuvassa näkyvä alef-1.

Käsittääkseni Cantor osoitti toisenlaisia käsitteitä, ordinaaleja, käyttäen, että tuollainen alef-1 eli pienin ylinumeroituva äärettömyys todella on olemassa. Tässä kuitenkin joudutaan alueelle, josta en enää yritä kirjoittaa yleistajuisesti, enkä siihen pystyisikään, koska omankin tajuamiseni rajat tulevat vastaan. Vaikka aikoinaan hiukan harrastelin matematiikkaa, en ole matemaatikko. Matematiikassahan yksinkertaisiin peruskäsitteisiin perustuu yhä monimutkaisempia rakennelmia, joiden omaksuminen käy vain työläästi vaihe vaiheelta ilman oikoteitä – minkä takia matematiikkaa on yleensäkin hankalaa popularisoida. Tässä joudun paljolti vain referoimaan matematiikan historiasta lukemaani, ilman että olisin itse syventynyt puheena olevaan tutkimukseen.

Cantor uskoi kontinuumihypoteesiin ja yritti kuumeisesti sitä todistaa, muttei koskaan onnistunut. Hän ei ollut ainoa, joka uhrasi asialle aikaansa ja tarmoansa (Cantorin tapauksessa ehkä mielenterveytensäkin). Kun aikansa huomattavimpiin matemaatikkoihin kuulunut David Hilbert vuonna 1900 esitti 23 kohdan listan tärkeimmistä toistaiseksi ratkaisemattomista matemaattisista ongelmista, kontinuumihypoteesi oli listalla ensimmäisenä. Kontinuumihypoteesia yrittivät todistaa myös monet harrastelijat, vähään samaan tapaan kuin Fermat’n suurta lausetta. (Muistaakseni esimerkiksi runoilija Lasse Heikkilä harrasti kontinuumihypoteesin todistamista.)

Kun Cantorin joukko-oppi tuli eturivin matemaatikkojen yleiseksi kiinnostuksenkohteeksi, kävi ilmeiseksi tarve sen saattamiseksi tukevammalle perustalle. Jos ajatellaan ”naiivin joukko-opin” tavoin, että joukot voidaan määritellä vapaasti erilaisin luonnollisen kielen lausein, joudutaan helposti paradokseihin, joista tunnetuin on Russellin paradoksi. Russellin paradoksi on muunnelma ikivanhasta valehtelijan paradoksista: Määritellään joukko A niiden joukkojen joukoksi, jotka eivät sisällä itseään alkioina; sisältääkö A tällöin itsensä vai ei?

Yleensähän matemaattisten teorioiden ihanteena on se Eukleideen geometriasta periytyvä rakentumistapa, että määritellään joukko aksioomia, jotka ajatellaan ”itsestäänselvästi” tosiksi teorian kuvaamassa avaruudessa ja sitten johdetaan näistä yhä monimutkaisempia lauseita. 1900-luvun alkuvuosikymmeninä joukko-opin melko yleisesti hyväksytyksi perustaksi vakiintui ns. ZFC-aksioomajärjestelmä (Z = Ernst Zermelo, F = Abraham Fraenkel, C = valinta-aksiooma). ZFC-aksioomat suurin piirtein kiteyttivät sen, mitä matemaatikot pitivät yleisesti hyväksyttävinä lähtökohtina joukkojen tutkimukselle. Muun muassa ne sulkevat pois mahdollisuuden, että joukko voisi olla itsensä alkio.

Kun kontinuumihypoteesia tutkittiin ZFC-aksioomien pohjalta, saatiin kaksi merkillistä tulosta. Ensimmäisen saavutti Kurt Gödel, jota monet pitävät 1900-luvun suurimpana loogikkona ja jonka kuuluisiin epätäydellisyyslauseisiin täytynee vielä palata tämän kirjoituksen jatko-osassa. Gödel todisti vuonna 1940, että kontinuumihypoteesi on yhteensopiva ZFC-aksioomien kanssa; sitä ei siis voi niiden pohjalta todistaa vääräksi. Vuonna 1963 taas Paul Cohen todisti, ettei kontinuumihypoteesia voi todistaa myöskään oikeaksi noiden aksioomien pohjalta!

Mitä tästä pitäisi ajatella? ZFC-aksioomat ikään kuin alimäärittävät joukko-opillisen avaruuden, koska sekä kontinuumihypoteesi että sen antiteesi ovat aksioomien kanssa yhteensopivia. Nuo aksioomat osoittautuivat merkillisen välinpitämättömiksi sen suhteen onko reaalilukujen mahtavuus alef-1, alef-2 vai mahdollisesti alef-alef-miljoona. Onko asian suhteen ylipäätään ”totuus” löydettävissä? Matemaatikoilla on ollut asiasta varsin erilaisia käsityksiä. Jotkut – kuten käsittääkseni Gödel – ovat ajatelleet, että totuus löytyy jonkinlaisesta platonistisesta ideoiden taivaasta, joten vika on puutteellisessa aksioomajärjestelmässä. Onkin tehty ehdotuksia täydentäviksi aksioomiksi, jotka ratkaisisivat asian suuntaan tai toiseen, mutta mikään niistä ei ole ollut sillä lailla itsestäänselvä, että olisi saavuttanut yleisen hyväksynnän.

Joka tapauksessa on selvää – ja syvästi traagista –, että Cantorin kiihkeät yritykset todistaa kontinuumihypoteesi oli tuomittu epäonnistumaan. Sikäli kun kysymys ylipäätään on mielekkäästi ratkaistavissa (mitä voi hyvinkin epäillä), tämä vaatisi paljon ZFC-aksioomia kehittyneempiä menetelmiä, jotka varmastikaan eivät olleet Cantorin ulottuvilla – harrastelijoista puhumattakaan.

Tieteen historiassa Cantorin alulle panemaa joukko-oppia voi pitää menestystarinana. Paitsi että siitä syntyi itsessään rikas matematiikan tutkimuskohde, se on toiminut tarpeellisena pohjateoriana lukuisille muille matematiikan osa-alueille. Sen arvoa ilmentää Hilbertin toteamus: ”Kukaan ei voi karkottaa meitä Cantorin meille luomasta paratiisista.” Ne, jotka ovat kotonaan tuossa paratiisissa, ovat epäilemättä todistaneet joukon jännittäviä asioita eksoottisista, normaaliymmärryksen tuolle puolen menevistä alefeista. Ja silti tekisi ei-matemaatikkona mieli kysyä: eikö kuitenkin hiukan nolota, eikö aiheuta kalvavaa epävarmuutta se, ettei edes ensimmäistä Cantorin löytämää ylinumeroituvuutta ole saatu paratiisissanne paikannettua?